微积分基本定理：导数与定积分的几何意义及公式解析
作者： • 更新时间：2025-05-01 10:50:46 •阅读
老铁们，大家好，相信还有很多朋友对于微积分基本定理：导数与定积分的几何意义及公式解析和的相关问题不太懂，没关系，今天就由我来为大家分享分享微积分基本定理：导数与定积分的几何意义及公式解析以及的问题，文章篇幅可能偏长，希望可以帮助到大家，下面一起来看看吧！
这个定理可以表述为两个部分。
第一部分：导数与定积分互为逆运算
第二部分：用反导数计算定积分
2 几何推导导数与定积分互为逆运算
对于图为曲线的连续函数y=f(x)，x的每个值都有一个对应的面积函数A(x)，表示曲线下面0到x之间的面积。
在x和x+h之间的曲线下面积可以通过找到0和x+h之间的面积，然后减去0和x之间的面积来计算，换句话说，这个“红色带”的面积将是A(x+h)-A(x)。
还有另一种方法来估计同一条“红色带”的面积。如上图所示，h*f(x)是矩形的面积，该矩形的面积与此条“红色带”的大小大致相同：
推导出：
也就是：
当h→0上，上式右值→0，相应的左值→0。所以有
也就是f(x) = A′(x)
3 公式推导微积分基本定理
3.1 准备知识
3.1.1 介值定理
介值定理，又名中间值定理，是闭区间上连续函数的性质之一。在数学分析中，介值定理表明，如果定义域为[a，b]的连续函数f，那么在区间内的某个点，它可以在f（a）和f（b）之间取任何值，也就是说，介值定理是在连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间。
3.1.2 积分估值定理
3.1.3 积分中值定理
积分中值定理的几何解释：
3.2 公式推导导数与定积分互为逆运算
推导微积分基本定理的第二部分：
－End－
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用户评论
看完这篇文章终于明白了微积分基本定理到底在讲什么！原来导数和定积分是互为逆运算的概念，这也太棒了吧，感觉整个数学世界都变得清晰了。
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公式推导部分看得有点蒙，但我还是很喜欢文章里讲解几何直观的解释，让人更容易理解微积分的基本原理。希望以后还有更多用几何的方式解释微积分内容的文章！
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我觉得这个标题写的真棒！一目了然，直接点明主题。不过我自己学习的时候就觉得这个定理比较抽象，总感觉没有实际应用场景，这篇文章有没有提到一些例子呢？
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我一直没法理解导数和定积分之间的关系，直到看到这篇文章我才恍然大悟！文章的讲解非常清晰易懂，图片辅助说明也很好，真的太感谢作者了！
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公式推导确实比较复杂，我有点吃力，不过关键还是明白这个定理的核心思想。我觉得可以多从具体的物理应用场景出发，用更直观的例子来解释这段知识。
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终于找到一篇对微积分基本定理解释得好的文章了！之前学的时候一直觉得这个定理特别难懂，现在好像理解透彻了！
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感觉这篇文章把微积分的基本定理讲得太简单了，对于已经掌握了一些微积分基础的人来说可能有点基础。希望作者能再写一篇更深入的文章，对某个例子进行更详细的推导。
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几何解释部分很棒，非常直观易懂！不过公式推导部分稍微复杂了一点，需要一些数学基础才能理解。
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这篇文章让我重新认识了微积分基本定理的重要性，原來它不仅是两个概念之间的联系，更是一个实实在在的应用工具！
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文章写得太棒了，把一个很抽象的概念用通俗易懂的方式解释得淋漓尽致! 我终于不再对这个定理感到畏惧了!
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推导过程有点复杂，我需要再仔细研究一下。但整体来说这篇文章让我对微积分基本定理有了更深入的理解。
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这篇博客真的值得一读！它把微积分基本定理讲得简单易懂，而且通俗易懂的例子帮助我更好地理解了这个概念。
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我一直觉得微积分太复杂了，但看了这篇文章以后发现其实它有很多乐趣！作者的讲解很有帮助，让我重新燃起了我对数学学习的兴趣
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公式推导部分确实有点深奥，但是文章里几何解释很能吸引我。微积分虽然抽象，但它的背后蕴含着很多奇妙的道理。
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太棒了！这篇文章简直是微积分爱好者的福音！终于有人把这个定理讲清楚了！
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我想了解更多有关这个定理在实际应用中的例子。文章中是否提到过一些具体的案例？
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对初学者来说，这个文章的讲解有点深度。可以考虑添加更多基础知识的补充，帮助大家更轻松地理解微积分基本定理。
有20位网友表示赞同！