探索百年数学难题：万有覆盖问题，只需高中数学知识
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如何设计一个可以填补所有漏洞的通用补丁？
这个问题在数学上被称为：全覆盖问题。
一百年来它一直让数学家们思考。
乍一看，这听起来是一个简单的问题。
但转念一想，似乎事情并没有那么简单。
例如，边长为1 的等腰三角形和直径为1 的圆的直径均为1。
然而，这个三角形不能被圆覆盖。
最近，一位退休的程序员利用高中方法取得了最新进展。
为什么这么难？
这个难题的提出者是法国著名数学家：Henri Lon Lebesgue。
他提出了勒贝格积分，拓宽了积分学的研究范围。
1914年，他写信给他的好朋友朱利叶斯·帕尔（Julius Pl，也是一位数学家），提出了一个问题：
在平面上，找到能覆盖不超过1个直径单位的面积的最小面积？
任何直径不超过1个单位的形状都是闭合曲线的边缘，并且最远的两个点之间的距离不超过1个单位。
这个问题最难的部分是：
不可能枚举所有直径为1 的形状是什么样子。
直径为1 的形状有数千种。哪种通用贴片可以覆盖所有形状？
万有覆盖“通用”方法
不过这个问题上手并不难。只要你有高中数学基础，都可以尝试一下。
接下来我们看看目前数学家是如何解决这个问题的。
从需要覆盖的直径为1 的区域R 开始。
虽然我不知道R 是什么样子，但可以肯定的是，它永远不会比1 个单位宽。
所以我们首先假设它有两个点——A和B，距离为1个单位。
现在，我们假设R区域除了A和B之外，还有一个点C。
那么C可能在哪里呢？
它不能大于A 的1 个单位，这意味着它必须位于以A 为圆心、半径为1 的圆内。
但另一个问题是C和B之间的距离不能超过1个单位。
所以C也一定在以B为圆心、半径为1的圆内。
因此，C的位置就确定在两个圆的交点处。
到A 和B 的距离不能超过1。这个条件不仅适用于C 点，也适用于区域R 中的每个点。
所以R中的每个点都必须位于这两个圆的交集区域内。
也就是说，这个区域可以覆盖所有可能的直径为1的R集合，是一个全覆盖区域。
但这个面积并不是最小面积，需要进行修剪。
注意，圆的交点形成两个等边三角形，顶点A和B，上点和下点与AB中点的垂直距离为3/2。
由于3/2大于1/2，我们可以画两条平行线，与AB平行且距AB 1/2个单位。
现在，考虑下图中的红色区域。
因为两条平行线之间的距离是1个单位，所以直径为1的集合不能同时出现在两个红色区域中。只需删除一个即可。
这样，普遍覆盖面积就从原来的(2/3)-(3/2)1.228缩小到了(/2)-1/21.071
从基本的普遍覆盖开始，您可以通过删除无关紧要的部分来缩小其面积。
这就是数学家得出最小普遍覆盖的方法。
优化方法：Pl六边形
通过更先进的技术，我们还可以找到一些其他简单的形状。
Pl 利用固定宽度曲线的特性表明：
尽管一组直径为1 的曲线可能从直径为1 的圆“延伸”，但它始终可以移动或旋转以适合该圆周围的六边形。
下图显示了Pl提出的六边形，可以覆盖各种形状（直径1）。
上图中间的形状是一个鲁洛三角形，它是一条固定宽度的曲线，与我们上一节提到的通用覆盖密切相关。
罗罗三角形是由三个相同的圆组成的圆弧三角形。
这个六边形的面积是3/20.866，比我们上一节得到的面积要小。
但帕尔也表示不需要整个六边形。
他通过巧妙的扭曲去除了一些无关的部分。
首先，将两个Pl 六边形堆叠在一起。
其中一个六边形绕中心旋转30 度。
出现了6个红色小三角形。
每个红色小三角形位于未旋转六边形外部和旋转六边形内部。
由于每个六边形的平行相对边之间的距离为1 个单位，因此两个相对的红色小三角形中的点之间的距离必须大于1 个单位。
也就是说，一组直径为1的形状不能同时出现在两个相对的红色小三角形中。
按照上一节的思路，你可能会认为你应该能够从6个小三角形中去掉3个小三角形，但事实上这是不可能的。
因为六边形旋转60度或对称翻转，形状不会改变。
因此，只有两种不同的方法可以从相反的对中选择红色三角形：
3个三角形可以是连续的，也可以是交替的。
然而，我们可以删除2个这样的小三角形。帕尔就是这么做的。
他从六边形上切下两个三角形，得到一个新形状，保证覆盖直径为1 的所有区域。
这个新的普遍覆盖的面积是2-2/30.8453，比六边形的面积略小。但帕尔六边形并不是最佳解决方案。
在此基础上，数学家和数学爱好者不断修剪。
1992 年，数学家Roland Sprague 和HC Hansen 从Pl 六边形中减去了三个小条带。
面积减少为0.844137708416。
Sprague 损失了0.001 单位面积，Hansen 损失了0.00000000004 单位面积。
退休程序员用高中几何，两次逼近极限
然后二十年过去了，这个问题仍然没有任何进展。
直到2014 年，一位名叫Philip Gibbs 的退休软件工程师试图解决这个数学问题。
他利用自己的编程背景，尝试用计算机的方式来解决这个问题。
吉布斯首先对200 个随机生成的直径为1 的形状进行了计算机模拟。
这些模拟表明，他也许能够修剪最小通用覆盖空间的一些顶角。
然后他证明了新的覆盖物适用于直径为1 的所有可能的形状。
2015年2月，吉布斯和两位合作研究人员在网上发表了这篇论文。
论文地址：https://arxiv.org/abs/1502.01251
他们将最低全民覆盖面积从0.8441377 减少到0.8441153 单位面积。
他的策略是将所有直径为1 的形状移动到他之前发现的通用覆盖物的一角。
然后去除对角线部分上的任何剩余区域；然而，它在节省面积测量方面非常精确。
虽然这次减少的单位面积只有0.0000224，但几乎是1992年汉森减少面积的100万倍！
不过，这并没有阻止他进一步“砍伐”。
2018年10月，吉布斯又发表了自己的文章，再次降低了最小普遍覆盖面积。
论文地址：https://arxiv.org/abs/1810.10089
要知道，基于吉布斯来缩小覆盖面积并不是一件容易的事。正如加州大学河滨分校数学家约翰·贝兹(John Baez) 所说：
您实际上无法绘制这些片段，因为它们都是原子大小的。
但吉布斯再次突破了极限，堪称原子剪刀。
这次他的起点是上图中的A点和E点。
最终通过本次研究，得到的最小面积为0.8440935944。
值得一提的是，实验方法基本属于高中几何知识。
正如贝兹评论的那样：
从数学上来说，这只是高中几何，但它几乎是疯狂的。
极限挑战，仍将继续
虽然这个问题还没有最终解决，但在2005年，有数学家计算出了这个问题的理论下限，普遍覆盖不能小于0.832单位面积。
到达终点的最后一步，还等待着人们跨过去。困难仍然在于只有一种直径的形状千变万化，最终的范围需要涵盖所有的可能性。
如果你做到了，你的名字将载入数学史册。
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QuantaMagazine 博客：https://www.quantamagazine.org/how-simple-math-can-cover-even-the-most-complex-holes-20200108/https://www.quantamagazine.org/amateur-mathematician-finds-smallest-universal-封面-20181115/
GitHub项目地址：https://github.com/guadaran/lebesgue-universal-covering-problem
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OK，关于探索百年数学难题：万有覆盖问题，只需高中数学知识和的内容到此结束了，希望对大家有所帮助。
相关问答
答： 当然可以！最近科学家发现，只需要使用高中水平的数学知识，就能够研究“万有覆盖问题”这种困扰数学家数十年甚至上百年的难题。这简直让人太震惊了！以前我们以为解决这类难题需要超高深的数学理论，现在看来或许只要掌握基本的几何和代数知识就能有所突破。
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答： 这为广大高中生们提供了探索深奥数学世界的莫大机会。他们可以用熟悉的知识来解析这样经典的问题，说不定可以成为下一个解开“万有覆盖问题”的英雄呢！
181 人赞同了该回答
答： "万有覆盖问题"指的是：能否用一种方法，将一个有限区域划分为许多小的部分，使得其中每一个点都落在这些小部分中。 这听起来很简单对吧？但实际上这种看似简单的“覆盖”问题在数学领域极其复杂。因为要实现完全的“覆盖”，就需要考虑无数种不同的分割方式和几何关系。
218 人赞同了该回答
答： 解决这个问题不仅关乎于数学理论本身，更可能在物理学、计算机科学等其他领域发挥重要作用。比如，它可以帮助我们更好地理解空间结构，或者优化资源分配计划等实践问题。
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