高三数学必考点：概率与统计知识解析
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1. 随机试验的结构应该是不确定的。如果试用符合以下条件：
相同情况下可以重复试验；
测试的所有可能结果都是清楚可知的，且不止一种；
每次测试中都会出现这些结果中的一个，但在测试之前，并不能确定本次测试中会出现哪个结果。
这称为随机试验。
2.离散随机变量：如果随机变量的可能值能够按照一定的顺序一一列出，这样的随机变量称为离散随机变量。如果 是随机变量，则a、b 是常数。那么=a + b 也是一个随机变量。一般情况下，若xi 是随机变量，f(x) 是连续函数或单调函数，则f(xi) 也是随机变量。换句话说，随机变量的某些函数也是随机变量。
假设离散随机变量xi 的可能值为：x, x2, xi,
取每个值x(i=1,2,) 的概率P(xi=xi)=Pi，则该表称为随机变量 的概率分布，或 的分布列短的。
有性质P0,i=1,2, P+P2+…+Pi+…=1。
注：如果一个随机变量可以在一定区间内取任意值，则称该变量为连续随机变量。例如： [0,5]，即 可以取0 到5 之间的任意数字，包括整数和小数。无理数。
3. 二项分布：如果某事件在一次试验中发生的概率为P，则该事件在n次独立的重复试验中恰好发生k次的概率为：
[其中k=0,1,n,q1-p]
因此，可以得到随机变量xi 的概率分布为： 我们称这样的随机变量xi 服从二项式分布，记为xi~B(n·p)，其中n 和p 为参数，记为
二项分布的判断与应用。
二项式分布实际上是n次独立的重复检验。关键是看一个事件是否独立重复n次，每次测试只有两个结果。如果不满足这两个条件，随机变量将不服从二项式分布。物品分布。
当随机变量总体较大，且抽取样本量相对总体较小，且每次抽取只有两个检验结果时，可视为独立重复检验，采用二项式分布找到它的分布列。
4、几何分布：“xi=k”表示该事件在第k次独立重复测试中第一次发生。若第k次试验中事件A的发生记为A，则第k次试验中事件A的发生记为A，P(A )=q，则P(xi=)=P( AA2.A-1A）。根据相互独立事件的概率的乘法分数： P(xi=)=P(A)P(A2). P(A-1)P(A)=q(k-1) 幂p( k=1,2,3.) 则得到随机变量xi 的概率分布序列。
q(k-1) 幂p
我们说xi 服从几何分布，并注意g(k, p)=q(k-1) p 次方，其中q=1-p.k=1,2,3.
5. 超几何分布：一批产品有N件，其中有M件（M 〔分子是从M件次品中取出k件，从N-M件正品中取出n-k件的方法数。如果指定mr ，则k 的范围可写为k=0, 1,n。] 超几何分布的另一种形式：A批次产品由a次品和b正品组成。现抽取n件(1na+b)，则不良品数量分布为 超几何分布与二项分布的关系。 假设某批次产品由缺陷品和正品组成。当无放回地抽取n件时，缺陷品数量服从超几何分布。如果采用放回提取，则可以得到不良品数量分布列 如下： 假设有a+b 个产品数量，则n 次提取可能有(a+b) 的结果，依此类推： (=k) 包括 一个结果，所以 ，即~B·(n·a/(a+b))。 [我们首先选择k个不良品的位置，总共有 选择方法；那么每个残次品位置有一种选择方法，每个正品位置有b种选择方法]可以证明：当产品总数较多且抽奖次数不大时，P(xi=k )P( =k) ，因此二项式分布可以看作是超几何分布的近似，无放回采样可以近似看作有放回采样。 2.数学期望和方差。 1、期望的含义：一般来说，若离散随机变量xi 的概率分布为 则E=p+x2p2+.+xnpn+. 是 的数学期望或平均值或均值。数学期望也称为期望。数学期望反映离散随机变量值的平均水平。 2. 随机变量的数学期望=a+b： E=E(a+b)=aE+b 当a=0时，E(b)=b，即常数的数学期望就是常数本身。 当a=1时，E(+b)=E+b，即随机变量与常数之和的期望等于与常数的期望之和。 当b=0时，E(a)=aE，即常数与随机变量的乘积的期望等于常数与随机变量的期望的乘积。 单点分布：E=c*1=c。其分布列为：P(xi=1)=c。 两点分布：E=0*q+1*p=p，其分布为：(p + q=1) 二项分布： 其分布为~B(n,p)。 （P为出现z的概率） 几何分布：Eze=1/p，其分布为ze~q(k,p)。 （P为出现z的概率） 3、方差和标准差的定义：当已知随机变量xi 的分布列为p(=x)=p(k=1,2,) 时，称为 是 的方差。显然Dz0，所以xi=Dz。z是的根方差或标准差。随机变量 的方差和标准差都反映了随机变量 取值的稳定性和波动性、集中性和离散性。 D 的程度越小，稳定性越高，波动越小。 4. 方差的性质。 随机变量=aze+b 方差D()=D(aze+b)=aDze。 （a和b都是常数） 单点分布：Dze=0，其分布列为P(ze=1)=p 两点分布：Dze=pq，其分布为：(p+q=1) 二项分布：Dze=npq 几何分布：Dze=q/p 5.期望与方差的关系。 若Ez和En同时存在，则E(zn)=Ez+En 假设和z 是两个独立的随机变量，则E(z)=Ez*En，D(z+n)=Dz+Dn 期望与方差的换算：Dz=Ez2-(Ez)2 E(z-Ez)=E(z)-E(Ez)（因为Ez是常数）=Ez-Ez=0。 3.正态分布。 （基本不纳入考试范围） 1. 密度曲线和密度函数：对于连续随机变量，位于x 轴上方， 落在任意区间[a, b) 内的概率等于它与x 轴之间的距离。直线x=a 和直线x=b 曲线梯形的面积 该曲线（如图阴影部分所示）称为 的密度曲线，用作图像的函数f(x) 称为 的密度函数。由于“x(-,+)”是必然事件，因此密度曲线等于x 轴围成的面积等于1。 2. 正态分布和正态曲线：若随机变量 的概率密度为： （xR,, 为常数，0），称xi 服从参数为, 的正态分布，用~N(,) 表示。 f(x)的表达式可简写为N(.)，其密度曲线简称为正态曲线。 正态分布的期望和方差：若N(,)，则 的期望和方差为：E z=，D z= 2 。 正态曲线的性质。 曲线位于x轴上方，且与x轴不相交。 曲线关于直线x=对称。 当x=时，曲线处于最高点。当x左右移动时，曲线继续减小，呈现“中间高、两侧低”的钟形曲线。 当x时，曲线下降，当曲线向左右无限延伸时，以x轴为渐近线，无限逼近x轴。 当为常数时，曲线的形状由决定。 越大，曲线越“短而肥”，表明整体分布越分散； 越小，曲线越“瘦高”，表明整体分布越集中。 3. 标准正态分布：若随机变量xi 的概率函数为 ，则称xi 服从标准正态分布。即~N(0,1) 有(x)=P(x), (x)=1-(-x), 以及P ( a 的计算 本文由发布，不代表千千择校网立场，转载联系作者并注明出处：https://www.qqzexiao.com/tsjy/17815.html
用户评论
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