全面解析数学基础：函数核心概念详解

大家好，如果您还对全面解析数学基础：函数核心概念详解不太了解，没有关系，今天就由本站为大家分享全面解析数学基础：函数核心概念详解的知识，包括的问题都会给大家分析到，还望可以解决大家的问题，下面我们就开始吧！

【数轴上的点的坐标】数轴上的每个点都对应一个实数，这个实数称为该点在数轴上的坐标。

阐明

数轴上两点之间的距离等于两点坐标差的绝对值。

【平面笛卡尔坐标系】有共同原点且在平面内相互垂直的两个数轴构成平面笛卡尔坐标系。水平数轴称为x轴或横轴，右方向为正方向。垂直的数轴称为y轴或垂直轴为正方向，两轴的交点0为原点。这个平面称为坐标平面。

图1-14-1

阐明

x轴和y轴将坐标平面分为四个象限，如图1-14-1所示。但坐标轴上的点，即x轴和y轴上的点不在任何象限内。

【直角坐标系中点坐标】如图1-14-2所示的直角坐标系中，从点P到x画一条垂线。垂直脚M在x轴上的坐标为a，从p到y轴画一条垂直线。垂直脚N在y轴上的坐标为b，a称为P点的横坐标，b称为P点的纵坐标，（a，b）合起来称为P点。的坐标表示为作为P（a，b）。横坐标写在纵坐标前面。 ( a , b ) 是一对有序实数。

图1-14-2

阐明

(1)原点0的坐标为(0,0)，记为0(0,0)。

(2) 当ab时，(a,b)和(b,a)是两个不同的有序实数对，对应于两个不同的点。

(3) 点P(a,b)到x轴的距离为b，点P到y轴的距离为a。

(4) x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0；反之，纵坐标为0 的点必须在x 轴上，横坐标为0 的点必须在y 轴上。

(5) 坐标平面上的点与有序实数对之间存在一一对应关系。也就是说，对于坐标平面上的任意点M，都有唯一的一对有序实数（x，y）与其对应；对于任何一对有序实数(x, y)，在坐标平面上都存在唯一的一对有序实数(x, y)。点M与其对应。

【四个象限内点的符号规则】

(1)第一象限内任意一点的横坐标和纵坐标均为正数；反之，横坐标和纵坐标都为正的点一定在第一象限。

(2)第二象限内任意一点的横坐标为负数，纵坐标为正数；反之，横坐标为负，纵坐标为正的点一定在第二象限。

(3)第三象限内任一点的横坐标和纵坐标均为负；反之，横坐标和纵坐标为负的点一定在第三象限。

图1-14-3

(4)第四象限内任意一点的横坐标为正数，纵坐标为负数；相反，横坐标为正、纵坐标为负的商店一定位于第四象限。

阐明

各象限店铺的坐标符号可用图1-14-3表示。

【直角坐标平面内两点之间的距离公式】

在直角坐标系中，两点A和B的坐标分别为(x，y)和(x2，y2)，那么它们之间的距离为

【常数】在函数中其值保持不变的数是常数。

【变量】函数中数值发生变化且相互具有对应关系的量称为变量。

【功能】在某个变化过程中有两个变量x和y。如果对于x 的每个值，y 都有唯一对应的值，则x 是自变量，y 是x 的函数。

阐明

(1)x的各值是指在一定的允许取值范围内的每一个确定的x值。

(2) y 是x 的函数，通常用符号y=f ( x ) 或y=F ( x ), y=g ( x ),… 表示。这里，括号内的字母代表自变量，括号外的字母f或F和g代表两个变量y和x之间的对应规则。这种“y 是x 的函数”的关系称为函数关系。

【函数的定义域】函数的自变量允许取值的范围称为

该函数的定义域。

阐明

在确定函数的定义域（即自变量的取值范围）时，如果函数用数学公式表示，则该数学公式一定是有意义的。如果是为了解决实际问题，那么实际问题也必须是有意义的。

示例：查找函数

定义域。

分析公式

既有分母又有二次根式。为了使这个公式有意义，必须使分母x- x -60，并且必须使二次根公式中的被数4-2x0。

解根据题意，x- x -60, 4-2x0

解：x 3 且x -2，x 2

函数的定义域为x2且x-2。

审查

在只考虑数学公式f(x)的前提下，

(1) 当f(x)为整数时，函数的定义域均为实数； (2)当f(x)含有分数时，要考虑使分数中的分母不等于0；

(3)当f(x)包含偶次根式时，应考虑使偶次根式中的被数大于或等于0。

【函数值】对于函数y，当x在定义域中取某个值x=a时，对应的y值称为函数值。

阐明

函数y=f(x)，当x=a时，函数值通常写为f(a)

已知函数示例

解开

说明当x=a时求函数y=f(x)的值f(a)时，只需将公式f(x)中的x替换为a，然后进行计算即可。

【常数函数】函数y=f ( x )=c （c 为常数）称为常数函数。也就是说，无论自变量x取什么实数，对应的函数值总是常数c。例如，函数y=f ( x )=3 是一个常值函数，其图像是一条经过点(0,3) 且与x 轴平行的直线。

【函数的表示方法】常用的函数表示方法有解析法、列表法和图像法。

【解析法】用数学公式来表达两个变量之间的函数关系的方法称为解析法，这种公式称为泛函解析公式。

阐明

(1)当使用解析表达式表达函数时，需要考虑自变量的值必须使解析表达式有意义。

(2)解析方法表达的函数关系的优点是简单明了，易于用数学方法研究。然而，在实际问题中，许多变量的函数关系并不能全部用简单的数学公式来表达。例如，温度是时间的函数，但它们之间的函数关系很难用数学公式来表达。

例：等腰三角形的周长为10cm，底边长为ycm，腰长为xcm。求出y 关于x 的解析式，并求出该函数的定义域。

分析求函数的解析式本质上就是求y和x之间的等价关系。

解根据题意，得y+2x=10

y 关于x 的泛函解析表达式为y=10-2x

考虑到三角形的边长必须为正数且三角形的任意两条边之和大于第三条边，x和y应满足

该函数的定义域为5/2﹤x﹤5

点评：函数的定义域是函数的重要组成部分。一般来说，求函数的解析表达式时，要写清楚函数的定义域，因为解析表达式是相同的，定义域不同的两个函数是不同的函数。

例如，y=x 和y=x(x0) 是两个不同的函数。

【列表法】用表格来表达两个变量之间函数关系的方法称为列表法。例如，方表使用列表方法来表达函数关系y=x。

阐明

用列表方法表达函数关系的好处是很容易找到自变量某个值对应的函数值（只要是表中的），从而了解它们的变化。然而，通常不可能在表中列出自变量的所有值。

【图像法】对于一个函数，如果将自变量x和函数y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在坐标平面上画出对应的点，这些点组成的图形就是这个函数图像。用图像表示变量之间函数关系的方法称为图像法。

图1-14-4

阐明

用图像方法表示函数关系的优点是不仅可以找到自变量值对应的函数值，而且还可以清楚地看到函数值的变化。然而，有时无法获得完整的图像，并且获得的函数值往往是近似的。例如，自动记录仪在某一天、某地点记录的温度T和时间t两个变量之间的对应关系（图1-14-4）。

【使用函数解析表达式绘制图像的一般步骤】

(1)列表列表给出了自变量和函数的一些对应值。

(2)画点：以表格中对应的数值为坐标，在坐标平面上画出对应的点。

(3) 连接线按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线将画出的点连接起来。

追踪点时，应注意函数域的特点，尽量考虑域中的各种有代表性的数字和特殊数字。只有这样，追踪的点越多，图像就越准确。事实上，一般不可能将所有的点都追踪出来，只能将部分点通过平滑的曲线连接起来，得到函数的近似图像。

示例：绘制函数y=x 的图形

解决方案列表：

追踪点并绘制图片，如图1-14-5）

图1-14-5

【正比例函数】函数y=kx（k0常数）称为比例函数。也可以说y 与x 成正比。常数k称为y和x的比例系数，函数的定义域均为实数。

例如，如果y 与x-3 成正比，并且当x=2、y=-1 时，求y 和x 之间的函数关系。

解： y 与x-3 成正比

假设y 和x 之间的函数关系为y=k (x-3)

根据题意，得-1=k(2-3)

y 和x 之间的函数关系为y=-(x-3)

即y=-x+3

【比例函数图】比例函数y=kx的图是过原点(0,0)和(1,k)的直线，称为直线y=kx

阐明

根据两点确定直线的规则，绘制比例函数的图像时，除了原点外，只需选取另一个点即可。一般情况下，符合解析式（即横坐标和纵坐标均为整数）的整数点）比较容易追踪。绘制函数y=1/2x的图像时，分别取点(0,0)和(2,-1)，然后绘制点并将它们连接起来。

【比例函数的性质】比例函数y=kx 具有以下性质：

(1) 当k=0时，y随着x的增加而增加。

(2)当k0时，y随着x的增大而减小。

阐明

(1) 当k=0时，函数y=kx的像经过第一象限和第三象限。

(2) 当k0时，函数y=kx的像经过第二象限和第四象限。

函数y=kx + b（k、b 为常数，k 0）称为x 的线性函数。

函数的定义域都是实数。

阐明

当b=0时，线性函数y=kx+b成为比例函数，这意味着比例函数y=kx是线性函数的特例。

[线性函数的图像] 线性函数y=kx + b 的图像是穿过(0, b) 且与直线y=kx 平行的直线。线性函数y=kx + b 的图像称为直线y=kx + b。称b 为直线y=kx + b 在y 轴上的截距，简称截距。

阐明

(1) 两条直线l: y=kx+b，l2:y=k2x+b2，若k=k2，bb2，则l//l2，反之亦然。

(2) 可见，直线是由两点确定的。绘制一次函数的图像时，只需先在直线上描出两点，然后通过这两点画一条直线。当b0时，一般取与坐标轴相交的(-,0)和(0,b)两点为宜。

(3) 当k=0时，函数y=kx+b不是线性函数，而是成为常值函数，但其图像仍是一条直线。常数函数的图像是垂直于y 轴的直线。

例如，如果直线y=kx + b 与直线y=3x-4 平行并经过点(-3,-3)，则求该直线所围成的三角形的面积并坐标轴。

分析要求直线与坐标轴围成的三角形的面积，首先求直线的解析公式，然后在直角坐标平面上画直线。根据图求三角形的面积并不难。

解：直线y=kx+b 与直线y=3x-4 平行，

且这条直线经过点(-3,-3)

这条直线是y=3x + 6

直线与x轴的交点A(-2,0)，直线与y轴的交点B(0,6)。如图1-14-6所示

图1-14-6

AOB的面积为：-26=6

注释在直角坐标平面中，如果已知某个图形的面积，或者需要求某个图形的面积，一般应先画出其图形，以便于分析计算。

【线性函数的性质】线性函数y=kx+b具有以下性质：

(1) 当k=0时，y随着x的增加而增加。

(2)当k0时，y随着x的增大而减小。

阐明

(1)当K=0、b=0时，其图像经过第一、二、三象限。

(2)当K=0、b0时，其图像经过第一、第三、第四象限。

(3)当K0、b=0时，其图像经过第一、二、四象限。 (4)当K0、b0时，其图像经过第二、第三、第四象限。

例如，在同一直角坐标平面上，线性函数y=(2m-1)x-1/4m的近似图像和反比例函数y=(m+3)/2x的近似图像如图1所示-14-7。求m 的整数值。

图1-14-7

分析根据函数的一般形象，我们可以看出，线性函数y=kx + b 中k0 和b 0 ，反比例函数y=k/x 中k0 。对比给定函数的解析式，可得2m -1﹤0 、-m/40、(m+3)/0，由此可求出m的范围，进而求得整数的值即可求出m。

解：根据题意，可得

不等式系统的解集为-3﹤m﹤0

整数m的值为2或-1

审查

拦截不是距离！即不是图像与y轴交点到原点的距离，而是图像与y轴交点的纵坐标，所以可能是正数、负数或零。

本题反比例函数中的k=(m+3)/2，不要误认为k=m+3

【线性函数与一变量线性方程的关系】线性函数y=kx+b (k 0)，当y=0 时，对应一变量线性方程kx+b=0 (k 0)，也就是说，线性函数y=kx+b (k 0) 的图像与x 轴交点处的横坐标x 的值就是方程kx+b=0 (k 0）。

【待定系数法】先在方程中设定未知系数，然后根据条件求出未知系数，从而写出方程的方法称为待定系数法。

阐明

待定系数法也是数学中的一种基本方法。仅当公式形式已知且部分系数未知时才可以使用。如果已知y和x成正比，但其比例系数未知，则可以采用待定系数法，假设y=kx。待定系数法一般用于求正比例函数、反比例函数、线性函数、二次函数等。

例：一次函数图像与反比例函数图像y=6/x的交点A的横坐标为-2，另一个交点B到x轴的距离为1求该线性函数的解析公式。

线性函数的解析表达式的形式已知，即y=kx+b，但两个系数k和b未知。因此，利用待定系数法，令这个线性函数的解析表达式为y=kx + b ，然后根据题意找出两个条件。本题中，通过求出两个交点的坐标，就可以确定k和b的值，从而求出函数的解析式。

解：反比例函数y=6/x图像上A点的横坐标为-2，

纵坐标为y=6/(-2)=-3。

A点坐标为(-2,-3)。

且B点到x轴的距离为1，

其纵坐标y满足：y=1，即y=1。

B点也在反比例函数y=6/x的图像上，

其横坐标为6或-6。

B点坐标为(6,1)或(-6,-1)。

令线性函数的解析公式为y=kx + b。

一次函数的图像经过A 点和B 点，

(1) 当B点坐标为(6,1)时，可得

求线性函数的解析公式为y=x-2

(2) 当B点坐标为(-6,-1)时，可得

求线性函数的解析公式为y=x4

综上所述，所需线性函数的解析公式为y=1/2x-2 或y=-1/2x-4

[二变量线性方程的图像] 包含两个未知数x 和y 的二变量线性方程ax + by=c (a 0, b 0) 可以写成线性函数y=-a 的形式/b+c /b。因此，两个变量的线性方程（对应的线性函数）的图像是穿过点（0，c/b）和（c/a，0）的直线。

【二变量线性方程的图像解法】其一般步骤是

(1) 画出方程组中两个方程的图像，得到两条直线；

(2) 如果这两条直线有交点，求交点的坐标。这些坐标是方程组的解。

示例：求解两个变量的线性方程

首先在同一直角坐标上画出这两个两变量线性方程组的图像（图1-14-8）。两条直线有交点，交点坐标为(2,1)。方程组的解为x=2, y=1

图1-14-8

【二次函数】函数y=ax+bx+c（a、b、c为常数，a0）称为二次函数。函数的定义域都是实数。

[抛物线] 函数y=x 的图形是关于y 轴对称的曲线。这条曲线称为抛物线。

【对称轴】抛物线y=x轴开口向上，y轴就是该抛物线的对称轴。

【顶点】对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点。

【二次函数的图形】二次函数的图形是抛物线。它是轴对称图形，抛物线与其对称轴的交点称为抛物线的顶点。

【二次函数的性质】抛物线y=ax+ bx + c (a 0) 的对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为[-b/2a, (4ac-b)/4a ]，当a0时，抛物线y=ax+ bx + c d的开口向上，顶点为其最低点，当x=-b/2a时，函数有最小值(4ac-b)/4a；当a﹤0时，抛物线的开口y=ax+ bx + c d向下，顶点为其最高点，当x=-b/2a时，函数有最大值(4ac-b)/4a。

阐明

(1) 当b=c=0时，二次函数为最简单的二次函数y=ax，抛物线y=ax的对称轴为y轴顶点为(0,0)。

(2) 抛物线y=a ( x - h )2+ k 与y=ax 形状相同，但位置不同。抛物线y=a ( x - h )+ k 的对称轴是直线x=h，顶点坐标为( h , k )。 a0时，开口向上，顶点为最低点；当a﹤0时，开口向下，顶点为最高点。

(3) 对于一般的二次函数y=ax+ bx + c，可以将其写成y=a ( x - h )+ k 的形式，从而得到对称轴和顶点坐标。

(4) 绘制二次函数图像的一般步骤是：首先制定二次函数并求出抛物线的对称轴和顶点坐标。这样，抛物线的大致位置就清楚了；接下来，使用函数的对称列表；最后画点得到二次函数的图像。

如抛物线y=2x和y=-2x的图像（图1-14-9）

图1-14-9

示例：已知二次函数的图像经过三个点(3,2)、(-1,-6)和(0,-1)。求该二次函数的顶点坐标和对称轴。

分析求二次函数的顶点坐标和对称轴，一般要先求二次函数的解析公式。在已知三点的情况下，利用通式求其解析式。

解假设二次函数的解析公式为y=ax+ bx + c (a 0)。根据问题的意思，我们得到

二次函数的解析公式为y=-x+4x-1

且y=-x+4x-1=-(x-4x+2-2)-1=-( x -2)+3，

这个二次函数的顶点坐标是(2,3)，对称轴是一条直线：x=2。

审查

根据二次函数的一般公式，直接代入公式也可以得到顶点坐标和对称轴。

【二次函数的三种常用表达形式】二次函数的解析表达式有三种常用的表达形式：

1）通式：y=ax+bx+c（a0）；

(2) 顶点公式：y=a(x-h)+k(a0)；

(3) 两个根式：y=a(x-x)(x-x2)(a0)，其中x和x2为抛物线与x轴两个交点的横坐标，即方程ax+ bx + c=两个0 的实根。

阐明

(1)二次函数解析表达式的三种常用表达形式各有优点，可以根据不同的需要相互转化。例如，可以通过公式将通用表达式转换为顶点表达式。

(2)求二次函数的解析表达式时，一般采用待定系数法。如果已知函数的图形经过三个点，那么通常使用通式，特别是当图像与y轴的交点(0, m)已知时，常数项c=m可以被知晓；如果函数图的顶点或对称轴已知，则通常使用顶点形式；如果函数图像与x轴的两个交点已知，那么使用二根式显然很简单。

无论采用哪种形式，最终的结论通常都需要简化为一般形式。

【二次函数的最大应用】二次函数y=ax+bx+c中，若a0，则当x=-b/2a时，函数y具有最小值(4ac-b)/4a，记为y最小值=4ac-b)/4a

若a0，则当x=-b/2a时，函数y有最大值(4ac-b)/4a，记为y最大值=(4ac-b)/4a

阐明

(1)所谓最佳值是指最大值或最小值。二次函数的最大值或最小值与a有关，a决定了图像开口的方向。

(2)二次函数的最大值反映在图像上，即最高点或最低点，即顶点的纵坐标。

例如，有人用40米长的围栏，利用30米长的围墙的一侧，组成了一个长方形的养鸡场（如图1-14-10所示）。如何围合养鸡场才能使面积最大？最大面积是多少？

图1-14-10

分析：如果养鸡场的面积为y平方米，宽度为x米，那么根据题意，可以列出y与x的函数关系。通过研究这个函数的最大值，我们可以解决最大养鸡场面积的问题。问题。

解假设封闭式养鸡场面积为y平方米，宽度为x米，则长度为(40-2x)米。

根据题意，得y=x(40-2x)=-2x+40x=-2(x -10)+200。 a=-2﹤0

函数y 有最大值

当x=10时，y的最大值=200

答：宽度为10米时，封闭式养鸡场面积最大，为200平方米。

【二次函数与二次方程的联系】二次函数y=ax+ bx + c，当y=0 时，对应二次方程ax+ bx +c=0。

(1) 当=b-4a0时，二次方程ax+ bx + c=0有两个不等实根。此时，抛物线y=ax+ bx +c 与x 轴有两个交点，它们的横坐标就是方程的两个根。

(2) 当=b-4ac=0时，二次方程ax+ bx + c=0 有两个相等的实根。此时，抛物线y=ax+ bx + c 的顶点在x 轴上，其横坐标为方程的根。

(3) 当=b-4ac﹤0时，二次方程ax+ bx + c=0 无实根。此时抛物线y=ax+bx+c与x轴无交点。

阐明

根据二次函数与一变量二次方程的关系，可以利用二次函数的图像来求解一变量二次方程。使用图像法求解二次方程ax+ bx + c=0 的一般步骤是：首先将函数y=ax+bx + c 作图像，用它求出二元方程ax+ bx + c=0 交点的横坐标抛物线和x轴，从而得到方程的根，但是得到的根一般都是近似的。

举例：证明：无论m取什么实数，抛物线y=x-(m -2) x -2m-3与x轴之间一定有两个交点。

分析证明抛物线与x轴有两个交点，只需证明0即可。

证明=[-( m -2)]-4(-2m-3)

抛物线必须与x 轴有两个交点。

【分段函数】将自变量的取值范围分为若干段，用每段内对应的函数解析表达式来表示函数。这样的函数称为分段函数。

例如，某城市出租车收费标准如下：

3公里以内（含3公里），收费10元；超过3公里的部分，每公里收费2元。写出应收车费y（元）与出租车行驶距离x（公里）之间的函数关系。

分析：求函数的解析公式由两部分组成。 3公里以内使用常值函数y=10，超过3公里则使用线性函数y=2(x -3)。因此，所求函数的解析公式可以表示为分段函数。

解根据题意，可得函数的解析公式为

【反例函数】函数y=k/x（k为常数，k0）称为反比例函数。变量x 和y 被认为是成反比的。函数的定义域是所有实数x 0。

阐明

反比例函数y=k/x也可以表示为反比例函数y=kx-1的形式。一旦确定了k的值，就可以确定反比例函数。

例：已知y=y1-y2，y1与2x成反比，y与x2成正比，当x=1时，y=-1；当x=-1时，y=-5。求x=2 时y 的值。

分析要求y 的值，首先求y 和x 之间的函数关系。由于y与2x成反比，y与x成正比，因此设y=k/2x，y2=k2x2，可得y=k/2xk2x2。将已知的两组y的对应值代入，即可得到k、k2的值，从而得到函数关系表达式和当当x=2，即y的值。

解开

因为y 与2x 成反比，y 与x 成正比

假设y=k/2x, y2=k2x2

当x=1时，y=-1

当x=-1时，y=-5

y和x之间的函数关系为y=4/2x-3x

即y=2/x-3x

当x=2时，y=2/2-3

×2²=11 点评本题中的y₁,y₂是两个不同的函数，因此其中的k₁,k₂的值不一定相同，所以在设待定的系数时，务必注意，不能用一个字母k表示，而一定要用不同的字母（如k₁,k₂）来表示，以示区别。〔反比例函的图像〕反比例函数y=k/x(k≠0)的图像由两条曲线组成，叫双曲线，每条曲线叫做它的一个分支。〔反比例函的性质〕反比例函数y=k/x(k≠0)有如下性质： (1）当 k﹥0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小。 (2）当 k ﹤0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。 (3）图像的两个分支都无限接近于x 轴和 y 轴，但不会与x 轴和 y 轴相交。说明 (1）画反比例函数图像，可首先通过列表、描点、连线画出它的一个象限的一支双曲线，再利用两个分支关于原点对称，画出另一支。 (2）反比例函数的图像分别在两个不同的象限内，如 k ﹥0时，两个分支分别在第一、三象限内，而第一象限内的 y 的值总大于第三象限内 y 的值。因此在用性质时，要注意 he “在每个象限内”这个条件。例双曲y=6/与y=-6/x的图像（图1-14-11）图1-14-11 〔确定反比例函数解析式〕对于一个反比例函数，如果已知其图像上一点的坐标，就可以确定这个反比例函数的解析式。方法步骤如下： (1）写出反比例函数一般形式 y =k/x (2）将已知点的坐标（ xo , yo ）代入 y =k/x，从而确定k = xoyo ; (3）最后写出反比例函数解析式 y = xo yo/ x .